Matemática discreta Ejemplos

$y = - 2 x^{2} + 10 x$

Paso 1

El máximo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es negativa, el valor máximo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{10}{2 (- 2)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{10}{2 (- 2)}$

Paso 2.3

Simplifica $- \frac{10}{2 (- 2)}$ .

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 2}$

Paso 2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 (- 2)}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 2}$

Paso 2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{5}{- 2}$

Paso 2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - - \frac{5}{2}$

Paso 2.3.3

Multiplica $- - \frac{5}{2}$ .

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (\frac{5}{2})$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Paso 3

Evalúa $f (\frac{5}{2})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{5}{2}) = - 2 {(\frac{5}{2})}^{2} + 10 (\frac{5}{2})$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - 2 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 10 (\frac{5}{2})$

Paso 3.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - 2 \frac{25}{2^{2}} + 10 (\frac{5}{2})$

Paso 3.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - 2 (\frac{25}{4}) + 10 (\frac{5}{2})$

Paso 3.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 (- 1) (\frac{25}{4}) + 10 (\frac{5}{2})$

Paso 3.2.1.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{25}{2 \cdot 2}) + 10 (\frac{5}{2})$

Paso 3.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{25}{2 \cdot 2}) + 10 (\frac{5}{2})$

Paso 3.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5}{2}) = - 1 (\frac{25}{2}) + 10 (\frac{5}{2})$

Paso 3.2.1.5

Reescribe $- 1 (\frac{25}{2})$ como $- (\frac{25}{2})$ .

$f (\frac{5}{2}) = - (\frac{25}{2}) + 10 (\frac{5}{2})$

Paso 3.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 2 (5) (\frac{5}{2})$

Paso 3.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 2 \cdot (5 (\frac{5}{2}))$

Paso 3.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 5 \cdot 5$

Paso 3.2.1.7

Multiplica $5$ por $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 25$

Paso 3.2.2

Para escribir $25$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 25 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.2.3

Combina $25$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 25 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $25$ por $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 50}{2}$

Paso 3.2.5.2

Suma $- 25$ y $50$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $\frac{25}{2}$ .

$\frac{25}{2}$

Paso 4

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el máximo.

$(\frac{5}{2}, \frac{25}{2})$

Paso 5